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設(shè)0＜a＜，求證：1＜sin a＋cos a≤．

答案：
解析：

解：∵sina=，cosa＝(r＞0)，∴sin a＋cos a＝．

如下圖，在Rt△中有x＋y＞r∴＞1．

又∵x2＋y2≥2xy，∴(x2＋y2)＋(x2＋y2)≥2xy＋(x2＋y2)，即2(x2＋y2)≥

(x＋y)2．

∵x2＋y2＝r2，∴2r2≥(x＋y)2≥0，r≥x＋y，∴≤

綜上所述，1＜≤，即1＜sin a＋cos a≤


提示：

本題的關(guān)鍵是x、y與r的關(guān)系滿足x2＋y2＝r2．關(guān)于≤的證明實(shí)際上是采用了倒推的方法：≤x＋y≤r(x＋y)2≤2r2(x＋y)2≤2(x2＋y2)x2＋2xy＋y2≤2x2＋2y22xy≤x2＋y2．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)0＜a，b，c＜1，求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a，不可能同時(shí)大于
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

A已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=
1
4
，公比q=
1
4
的等比數(shù)列，設(shè)bn+2=3log
1
4
an  (n∈N*)，數(shù)列{cn}滿足cn=an•bn．
（1）求證：{bn}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）若cn≤
1
4
m2+m-1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
B已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ，an+1=
2
3
an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)，其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．
（Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，證明：數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；
（Ⅱ）證明：當(dāng)λ≠-18時(shí)，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)0＜a＜b（a，b為實(shí)常數(shù)），Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ，an+1=
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an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21）其中λ為實(shí)數(shù)，且λ≠-18，n為正整數(shù)．
（Ⅰ）求證：{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)0＜a＜b，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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