Question

設函數f（x）=sin（2x+?）（0＜?＜π），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=

π

8

（Ⅰ）求?；                     
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調減區(qū)間；
（Ⅲ）求函數f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值與最小值；
（Ⅳ）畫出函數y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得f（

π

8

）=sin（

π

4

+?）=±1，再由0＜?＜π，可得?的值．
（Ⅱ）由以上可得函數f（x）=sin（2x+

π

4

），令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數的減區(qū)間．
（Ⅲ）由于x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數的定義域和值域求得函數的最值．
（Ⅳ）由x∈[0，π]，可得2x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]，用五點法作函數y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的簡圖．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得f（

π

8

）=sin（

π

4

+?）=±1，再由0＜?＜π，可得?=

π

4

．
（Ⅱ）由以上可得函數f（x）=sin（2x+

π

4

），令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，
求得 kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，故函數的減區(qū)間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈z．
（Ⅲ）由于x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，故當2x+

π

4

=

π

2

時，函數取得最大值為1；當 2x+

π

4

=

5π

4

 時，函數取得最小值為-

2

2

．
求函數f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值與最小值；
（Ⅳ）∵x∈[0，π]，可得2x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]，列表表如下：

2x+ π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
y	2 2	1	0	-1	0	2 2

點評：本題主要考查復合三角函數的對稱性、單調性，用五點法作函數y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的簡圖，屬于中檔題．