Question

在數(shù)列{a_n}中，前n項和S_n=na+n（n-1）b，（b≠0）．
（Ⅰ）求證{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求證：點P_n（a_n，

Sn

n

-1）都落在同一條直線上；
（Ⅲ）若a=1，b=

1

2

，且P₁、P₂、P₃三點都在以（r，r）為圓心，r為半徑的圓外，求r的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與解析幾何的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥1

，能證明{a_n}是首項為a，公差為2b的等差數(shù)列．
（Ⅱ）設P_n（x，y），則

x=2bn+a-2b y= na+ n(n-1) 2 •2b n -1=bn+a-b-1

，由此能證明點P_n（a_n，

Sn

n

-1）都落在同一條直線上．
（Ⅲ）由已知條件利用點與圓的位置關系能求出r的取值范圍．

解答： （Ⅰ）證明：∵S_n=na+n（n-1）b，（b≠0），
a₁=S₁=a，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=a+（n-1）•2b，…（2分）
當n=1時，式子也成立．…（3分）
∴{a_n}是首項為a，公差為2b的等差數(shù)列，…（4分）
∴a_n=a+2（n-1）b．…（5分）
（Ⅱ）證明：設P_n（x，y），
由已知，得

x=2bn+a-2b y= na+ n(n-1) 2 •2b n -1=bn+a-b-1

，…（7分）
∴點P_n（a_n，

Sn

n

-1）都落在同一條直線y=

x

2

+

a

2

-1上．…（9分）
（Ⅲ）解：因為a=1，b=

1

2

，
由已知得P₁（1，0），P₂（2，

1

2

），P₃（3，1），…（10分）
由題設

(r-1)2+r2＞r2 (r-2)2+(y- 1 2 )2＞r2 (r-3)2+(r-1)2＞r2

，…（11分）
解得r∈（-∞，

5-2 2

2

）∪（4+

6

，+∞）．…（13分）

點評：本題考查{a_n}是等差數(shù)列的證明，考查點P_n（a_n，

Sn

n

-1）都落在同一條直線上的證明，考查r的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意圓的性質的合理運用．