Question

【題目】已知點(diǎn),直線(xiàn),動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線(xiàn)的距離.

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）是否存在過(guò)的直線(xiàn),使得直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的弦恰好被點(diǎn)所平分？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直線(xiàn)的方程為

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于它到直線(xiàn)l的距離，利用拋物線(xiàn)的定義，可得點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)、直線(xiàn)x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，從而可求拋物線(xiàn)方程為；（Ⅱ）假假設(shè)存在滿(mǎn)足題設(shè)的直線(xiàn)m．設(shè)直線(xiàn)m與軌跡C交于A，B，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，利用點(diǎn)差法求直線(xiàn)的斜率，從而可得結(jié)論

試題解析：（1）因點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于它到直線(xiàn)l的距離，

所以點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)、直線(xiàn)x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，

其方程為…………………4分

（2）假設(shè)存在滿(mǎn)足題設(shè)的直線(xiàn).設(shè)直線(xiàn)與軌跡交于,

依題意,得.

∵在軌跡上,

∴有,將,得.

當(dāng)時(shí),弦的中點(diǎn)不是,不合題意,

∴,即直線(xiàn)的斜率,

注意到點(diǎn)在曲線(xiàn)的張口內(nèi)（或：經(jīng)檢驗(yàn),直線(xiàn)與軌跡相交）

∴存在滿(mǎn)足題設(shè)的直線(xiàn)

且直線(xiàn)的方程為：即.…………………12分