Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，且.點(diǎn)

是棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn).

（1）求證：∥；

（2）若，且平面平面，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：對(duì)于（1），先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到面，接下來根據(jù)四點(diǎn)共面，且平面平面，即可得到結(jié)論；對(duì)于（2），取中點(diǎn)，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及線面垂直的知識(shí)得到，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量運(yùn)算解決.

試題解析：（1）證明：因?yàn)榈酌?/span>是菱形，所以.

又因?yàn)?/span>面，面，所以面.

又因?yàn)?/span>四點(diǎn)共面，且平面平面，

所以.

（2）取中點(diǎn)，連接.因?yàn)?/span>，所以.又因?yàn)槠矫?/span>平面，且平面平面， 所以平面.所以.在菱形中，因?yàn)?/span>是中點(diǎn)，所以.

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，

則.

又因?yàn)?/span>，點(diǎn)是棱中點(diǎn)，所以點(diǎn)是棱中點(diǎn).所以.所以.

設(shè)平面的法向量為，則有所以

令，則平面的一個(gè)法向量為.

因?yàn)?/span>平面，所以是平面的一個(gè)法向量.

因?yàn)?/span>，

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.