Question

16．已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C依次構(gòu)成等差數(shù)列，則cosA+cosC的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出B=$\frac{π}{3}$，再用A表示出C，利用兩角和與差的余弦公式即可求出cosA+cosC的取值范圍．

解答 解：∵△ABC的三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，
又A+B+C=π，
∴3B=π，即B=$\frac{π}{3}$；
∴C=$\frac{2π}{3}$-A，A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴cosA+cosC=cosA+cos（$\frac{2π}{3}$-A）
=cosA+（-$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA）
=$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA
=cos（A-$\frac{π}{3}$）；
由A∈（0，$\frac{2π}{3}$），得A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$），
∴cos（A-$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]；
即cosA+cosC的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1]．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的取值范圍問(wèn)題，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于角A的三角函數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．