Question

8．已知a，b，c，d都是正數(shù)，a²+b²+c²=d²，a+b+c=dx，則x的取值范圍是（1，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得${（\frac{a}l4olbrd）}^{2}$+${（\frac9yk4ifg）}^{2}$+${（\frac{c}kgaeaqb）}^{2}$=1，x=$\frac{a}vevk4hu$+$\fracsevaslt$+$\frac{c}r4looen$；利用換元法，設(shè)$\frac{a}9aty4kw$=m，$\fracytb5opl$=n，$\frac{c}9kd4xco$=p，（m＞0，n＞0，p＞0），則m²+n²+p²=1，
求x=m+n+p的取值范圍即可；再利用柯西不等式以及放縮法即可求出m+n+p的取值范圍．

解答 解：∵a，b，c，d都是正數(shù)，a²+b²+c²=d²，
∴${（\frac{a}4zyjleu）}^{2}$+${（\fraciiv9pb4）}^{2}$+${（\frac{c}4nqilir）}^{2}$=1；
又∵a+b+c=dx，
∴x=$\frac{a}ofw4cw4$+$\frac4r9tq4b$+$\frac{c}mguv959$；
設(shè)$\frac{a}er5kq9r$=m，$\fracpvedaqd$=n，$\frac{c}9g0ee40$=p，且m＞0，n＞0，p＞0，
則m²+n²+p²=1，
x=m+n+p；
由柯西不等式得：
3=（1²+1²+1²）•（m²+n²+p²）≥（1•m+1•n+1•p）²，
∴-$\sqrt{3}$≤m+n+p≤$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{m=n=p}\\{{m}^{2}{+n}^{2}{+p}^{2}=1}\end{array}\right.$，即m=n=p=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，取得最大值$\sqrt{3}$；
又∵m＞0，n＞0，p＞0，
∴（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mn+2mp+2np＞m²+n²+p²=1，
∴m+n+p＞1；
綜上，1＜m+n+p≤$\sqrt{3}$，即x的取值范圍是（1，$\sqrt{3}$]．
故答案為：$（1，\sqrt{3}]$．

點(diǎn)評 本題考查了不等式的應(yīng)用問題，也考查了換元法以及不等式放縮法的應(yīng)用問題，是綜合性題目．