Question

【題目】已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與圓相切．

（1）求的值；

（2）動點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，動點(diǎn)在上，若在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，設(shè)．求證點(diǎn)在定直線上，并求該定直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)在定直線上．

【解析】

（1）設(shè)出直線的方程為，由直線和圓相切的條件：，解得；

（2）設(shè)出，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，求得為切點(diǎn)的切線方程，再由向量的坐標(biāo)表示，可得在定直線上；

解：（1）依題意設(shè)直線的方程為，

由已知得：圓的圓心，半徑，

因?yàn)橹本�與圓相切，

所以圓心到直線的距離，

即，解得或（舍去）．

所以；

（2）依題意設(shè)，由（1）知拋物線方程為，

所以，所以，設(shè)，則以為切點(diǎn)的切線的斜率為，

所以切線的方程為．

令，，即交軸于點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以， ，

，

．

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，

所以點(diǎn)在定直線上．