Question

已知數列{a_n}是遞增的等差數列，其前n項和為S_n，且a₁，a₂，a₄成等比數列．
（1）若S₅=30，求等差數列{a_n}的首項a₁和公差d．
（2）若數列{b_n}前n項和T_n=（n²+n）3ⁿ，若對?n∈N^*，?m∈N^*，使

bn

Tn

＞Sm成立，求等差數列{a_n}公差d取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項公式、等比數列的通項公式、等差數列的前n項和公式列出方程求出首項和公差．
（2）利用數列{b_n}前n項和T_n求出通項，列出不等式恒成立，，?m∈N，不等式恒成立，求出S_m的最小值，對?n∈N^*，求出

bn

Tn

的最小值，求出d的范圍．

解答：解：（1）有條件可知，

a22=a1a4   S5=5a1+ 5×4 2 d=30   d＞0

?

a1=d   5a1+10d=30   d＞0

解得：a₁=d=2
（2）有條件（1）可知，a₁=d且d＞0
∴Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

n(n+1)

2

d
∵d＞0
∴S_n單增
∴S_n的最小值為d
∵b_n前n項和T_n=（n²+n）3ⁿ
∴當n=1時，b₁=T₁
當n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=（n²+n）3ⁿ-[（n-1）²+（n-1）]•3^n-1
∴

bn

Tn

＞d
∴等差數列a_n公
即1-

n2-n

3n2+3n

＞d恒成立
所以公差d∈[0，

2

3

]

點評：解決不等式恒成立時，常轉化為求函數的最值，當存在變量使不等式成立與對于任意變量不等式恒成立求的最值不同．