Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC₁上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S．則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．
①當CQ=1時，S的面積為

6

2

．
②當

3

4

＜CQ＜1時，S為六邊形
③當CQ=

3

4

時，S與m的交點R滿足C₁R₁=

1

3

④當CQ=

1

2

時，S為等腰梯形
⑤當0＜CQ＜

1

2

時，S為四邊形．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：空間位置關系與距離

分析：①，當CQ=1時，點Q與點C₁重合，如圖知，截面S為菱形，易求其面積為

6

2

，可判斷①；
取AD的中點M，在DD₁上取點N，使得DN=CQ，則MN∥PQ；作AT∥MN，交直線DD₁于點T，則A、P、Q、T四點共面；
②，當

3

4

＜CQ＜1時，

3

4

＜DN＜1⇒DT=2DN∈（

3

2

，2），T在DD₁的延長線上，設TQ與C₁D₁交于點E，AT與A₁D₁交于點F，則S為五邊形APQEF，可判斷②；
③，當CQ=

3

4

時，則DN=

3

4

⇒DT=2DN=

3

2

⇒D₁T=

1

2

；由D₁R：TD₁=BC：DT可求得D₁R=

3

2

，繼而可得C₁R=

1

3

，可判斷③；
④，當CQ=

1

2

時，則DN=

1

2

，易知點T與D₁重合，從而知S為等腰梯形APQD₁，可判斷④；
⑤，當0＜CQ＜

1

2

時，則0＜DN＜

1

2

⇒DT=2DN＜1⇒S為四邊形APQT，可判斷⑤；．

解答： 解：對于①，當CQ=1時，點Q與點C₁重合，此時過點A，P，Q的平面與A₁D₁相交于R，且點R為A₁D₁的中點，

此時，截面APQR為菱形，該菱形的兩條對角線分別為：AQ=

3

，PR=

2

，
所以S=

1

2

×

3

×

2

=

6

2

，故①正確；
取AD的中點M，在DD₁上取點N，使得DN=CQ，則MN∥PQ；作AT∥MN，交直線DD₁于點T，則A、P、Q、T四點共面；

對于②，當

3

4

＜CQ＜1時，

3

4

＜DN＜1⇒DT=2DN∈（

3

2

，2），T在DD₁的延長線上，設TQ與C₁D₁交于點E，AT與A₁D₁交于點F，則S為五邊形APQEF，故②錯誤；
對于③，當CQ=

3

4

時，則DN=

3

4

⇒DT=2DN=

3

2

⇒D₁T=

1

2

；由D₁R：TD₁=BC：DT⇒D₁R=

3

2

⇒C₁R=

1

3

，故③正確；
對于④，當CQ=

1

2

時，則DN=

1

2

⇒DT=2DN=1⇒點T與D₁重合⇒S為等腰梯形APQD₁，故④正確；
對于⑤，當0＜CQ＜

1

2

時，則0＜DN＜

1

2

⇒DT=2DN＜1⇒S為四邊形APQT，故⑤正確；
綜上，命題正確的是：①③④⑤．
故答案為：①③④⑤．

點評：本題考查多面體與截面的問題，要求學生掌握作截面的方法，要充分利用面面平行、線面平行的性質定理確定截面，再利用相似性質進行具體的計算，屬于難題．