Question

若三棱錐S-ABC的頂點S在底面上的射影H在△ABC的內部，且是△ABC的垂心，則（ ）
A．三條側棱長相等
B．三個側面與底面所成的角相等
C．H到△ABC三邊的距離相等
D．點A在平面SBC上的射影是△SBC的垂心

Answer 1

【答案】分析：根據條件“三棱錐S-ABC的頂點S在底面的射影H是△ABC的垂心”可以得到此三棱錐的三條相對的棱兩兩垂直，過任一個頂點向對面作垂線，根據線面垂直的性質定理可得到垂足是對面的三角形的高線的交點，從而得到垂心．
解答：解：∵三棱錐S-ABC的頂點S在底面的射影H是△ABC的垂心，
∴三棱錐的三條相對的棱兩兩垂直，
反之，若三棱錐的三條相對的棱兩兩垂直，
則有三棱錐任意一個頂點在對面的射影是對面三角形的垂心，
過頂點A向平面SBC作垂線，垂足為H，如圖，
根據線面垂直的性質定理，得到垂足H是△SBC的高線的交點，
∴點A在平面SBC上的射影必是△SBC的垂心，
故選D．
點評：本題考查三角形的垂心，考查棱錐的結構特征，是一個比較簡單的綜合題目．