Question

【題目】如圖，在正方形OABC中，O為坐標原點，點A的坐標為（10，0），點C的坐標為（0，10），分別將線段OA和AB十等分，分點分別記為A1 ， A2 ， …，A9和B1 ， B2 ， …，B9 ， 連接OBi ， 過Ai作x軸的垂線與OBi ， 交于點 ．

（1）求證：點 都在同一條拋物線上，并求拋物線E的方程；
（2）過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M，N，若△OCM與△OCN的面積之比為4：1，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意，過 且與x軸垂直的直線方程為x=i，Bi的坐標為（10，i），

∴直線OBi的方程為 ．

設Pi（x，y），由 ，解得 ，即x2=10y．

∴點 都在同一條拋物線上，拋物線E的方程為x2=10y．

（2）解：由題意，設直線l的方程為y=kx+10，

聯(lián)立 消去y得到x2﹣10kx﹣100=0，

此時△＞0，直線與拋物線恒有兩個不同的交點，

設為M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=10k，x1x2=﹣100，

∵S△OCM=4S△OCN，∴|x1|=4|x2|．∴x1=﹣4x2．

聯(lián)立 ，解得 ．

∴直線l的方程為 ．即為3x+2y﹣20=0或3x﹣2y+20=0．

【解析】（1）由題意，求出過 且與x軸垂直的直線方程為x=i，Bi的坐標為（10，i），即可得到直線OBi的方程為 ．聯(lián)立方程 ，即可得到Pi滿足的方程；（2）由題意，設直線l的方程為y=kx+10，與拋物線的方程聯(lián)立得到一元二次方程，利用根與系數的關系，及利用面積公式S△OCM=S△OCN ， 可得|x1|=4|x2|．即x1=﹣4x2 ． 聯(lián)立即可得到k，進而得到直線方程．