Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)與之間的“直角距離”為：．現(xiàn)給出下列4個命題：

①已知、，則為定值；

②已知三點(diǎn)不共線，則必有；

③用表示兩點(diǎn)之間的距離，則；

④若是橢圓上的任意兩點(diǎn)，則的最大值為6．

則下列判斷正確的為__________．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根據(jù)題中直角距離的定義先分別表示出問題的表達(dá)式，然后再一一判斷:

①直接利用新定義結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡即可得出結(jié)果;

②直接舉出反例論證推理原不等式不正確;

③設(shè),,則,,然后利用基本不等式進(jìn)行縮放進(jìn)而可以判斷結(jié)果;

④先判斷當(dāng)PQ過橢圓中心時最大，則設(shè)坐標(biāo)P(),Q(),,然后利用新定義公式結(jié)合三角函數(shù)的相關(guān)公式縮放判斷求得結(jié)果.

① ，∴①正確；

② 反例如圖，此時；∴②錯誤；

③ 記，則，

由基本不等式得，，∴③正確；

④ 當(dāng)的傾斜角恒定時，當(dāng)且僅當(dāng)過橢圓中心時，最長，

設(shè)，

則，∴④正確；

綜上，判斷正確的為①③④

故答案為: ①③④