Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓上任一點(diǎn)P，由點(diǎn)P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點(diǎn)M在PQ上，且，點(diǎn)M的軌跡為C.

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)D（0，－2）作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)N是過點(diǎn)且平行于軸的直線上一動點(diǎn)，滿足（O為原點(diǎn)），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ；（Ⅱ） 。

【解析】設(shè)M（x，y）是曲線C上任一點(diǎn),根據(jù),用M的坐標(biāo)表示出P的坐標(biāo),然后根據(jù)點(diǎn)P在橢圓上,可求出點(diǎn)M的軌跡方程.

(II) 當(dāng)直線l的斜率不存在時，顯然不滿足條件,所以設(shè)直線l的方程為y=kx－2,它與橢圓方程聯(lián)立消y后得到關(guān)于x的一元二次方程,然后因為，所以四邊形OANB為平行四邊形，

假設(shè)存在矩形OANB，則,即，

從而根據(jù)韋達(dá)定理可得到關(guān)于k的方程,求出k值,再驗證是否滿足判別式大于零.

（Ⅰ）設(shè)M（x，y）是曲線C上任一點(diǎn)，因為PM⊥x軸，，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，3y）   點(diǎn)P在橢圓上，所以，

因此曲線C的方程是                                …………5分

（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時，顯然不滿足條件

所以設(shè)直線l的方程為y=kx－2與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），經(jīng)N點(diǎn)平行x軸的直線方程為

 ，

  由

，       …………8分

 因為，所以四邊形OANB為平行四邊形，

假設(shè)存在矩形OANB，則

即，

所以

，       …………10分

設(shè)N（x0，y0），由，得

，即N點(diǎn)在直線，

所以存在四邊形OANB為矩形，直線l的方程為        …………12分