Question

二項(xiàng)式(x2-

i

x

)n展開(kāi)式中的第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為-

3

14

，其中i為虛數(shù)單位，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（　�。�

• A、72
• B、-72i
• C、45
• D、-45i

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：二項(xiàng)式定理

分析：根據(jù)二項(xiàng)式(x2-

i

x

)n展開(kāi)式中的第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為

C 2 n •(-i)2

C 4 n •(-i)4

=-

3

14

，求得得 n=10．在二項(xiàng)式(x2-

i

x

)10展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于零，求得r的值，可得展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)．

解答： 解：二項(xiàng)式(x2-

i

x

)n展開(kāi)式中的第三項(xiàng)的系數(shù)為

C

2 n

•(-i)2，第五項(xiàng)的系數(shù)

C

4 n

•(-i)4，
∴二項(xiàng)式(x2-

i

x

)n展開(kāi)式中的第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為

C 2 n •(-i)2

C 4 n •(-i)4

=

-12

(n-2)(n-3)

=-

3

14

，
解得n=10．
∴二項(xiàng)式(x2-

i

x

)10展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1=

C

r 10

•（-i）^r•x20-

5r

2

．
令20-

5r

2

=0，求得r=8，∴展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為

C

8 10

•(-i)8=45，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．