Question

（2012•湖北模擬）已知a＞0，函數(shù)f(x)=

a

x

+lnx-1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的通項an=

1

n

，S_n是前n項和，證明：S_n-1＜lnn（n≥2）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，令其等于0，可得x=a．若a≥e時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]是減函數(shù)；0＜a＜e時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a]是減函數(shù)，[a，e]是增函數(shù)，故可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）先證明lnx＞1-

1

x

在[1，+∞）上成立，令x=

k+1

k

得  ln(k+1)-lnk＞

1

k+1

，再令k=1，2，3，…，（n-1），疊加，即可得出結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：求導(dǎo)函數(shù)，令其等于0，即f′(x)=

1

x

-

a

x2

=0，可得x=a
若a≥e時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]是減函數(shù)，∴f(x)min=f(e)=

a

e

；
0＜a＜e時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a]是減函數(shù)，[a，e]是增函數(shù)，∴f（x）_min=f（a）=lna；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，a=1時，函數(shù)f（x）在定義域的最小值為0，∴lnx＞1-

1

x

在[1，+∞）上成立
令x=

k+1

k

得  ln(k+1)-lnk＞

1

k+1

令k=1，2，3，…，（n-1），可得ln2-ln1＞

1

2

，ln3-ln2＞

1

3

，…，lnn-ln(n-1)＞

1

n

∵數(shù)列{a_n}的通項an=

1

n

，S_n是前n項和，∴疊加，可得S_n-1＜lnn（n≥2）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)函數(shù)．