Question

已知數(shù)列，滿足，，且對任意的正整數(shù)，和均成等比數(shù)列.

（1）求、的值；

（2）證明：和均成等比數(shù)列；

（3）是否存在唯一正整數(shù)，使得恒成立？證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：本題考查數(shù)列的求值，等比數(shù)列的證明和研究不等式的恒成立問題.（1）通過題設(shè)條件給出的數(shù)列關(guān)系，求出數(shù)列的初始值；（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義，分別得到證明，其中應(yīng)說明第一項不為零；（3）探求是否存在唯一的正整數(shù)使得恒成立分兩步求解，先通過數(shù)列，的單調(diào)性得到，再證明證整數(shù)時唯一的，求解有關(guān)數(shù)列的綜合問題，主要是要明確解題方向，合理利用數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)化難為易，化繁為簡，同時還要注意解題步驟的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

試題解析：（1）依題意，；

（2）證明：依題意，對任意正整數(shù)有，即，

，

又，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，

，又，

數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.

（3）由（2）得，解得，顯然，數(shù)列是單調(diào)遞增的數(shù)列，是單調(diào)遞減的數(shù)列，即存在正整數(shù)，使得對任意的，有，

又令得，而，，，

，解得，即對任意的且時，，

正整數(shù)也是唯一的.

綜上所述，存在唯一的正整數(shù)，使得對任意的，有.

考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列不等式的恒成立問題.