Question

已知函數(shù)，其中且.

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個相異的零點.

(i)求實數(shù)的取值范圍；

(ii)求證：.

Answer 1

（Ⅰ），                                          

由于，所以，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.                  

(Ⅱ) ，。令。

（i）當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。

所以，即。                              

所以。                                                              

當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，要使在上有兩個相異零點，則，此時方程無解。

綜上所得，實數(shù)的取值范圍為。                                    

（ii）證明：先證明不等式：當(dāng)時，對任意的，。

令，則，則在單調(diào)遞減，又，所以，即對任意的，。    

由（Ⅰ）得函數(shù)的兩個零點（不妨設(shè)）滿足，故。

由于，又由（Ⅰ）得在單調(diào)遞減，從而，即。