Question

3．已知橢圓$M：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦點為F₁（-1，0）．
（Ⅰ）設橢圓M與函數(shù)$y=\sqrt{x}$的圖象交于點P，若函數(shù)$y=\sqrt{x}$在點P處的切線過橢圓的左焦點F₁，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設過點F₁且斜率不為零的直線l交橢圓于A、B兩點，連結AO（O為坐標原點）并延長，交橢圓于點C，若橢圓的長半軸長a是大于1的給定常數(shù)，求△ABC的面積的最大值S（a）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出焦點坐標F₁為（-1，0），設$P（t，\sqrt{t}）$，求出${k_{P{F_1}}}=\frac{{\sqrt{t}}}{t+1}$，設橢圓M的右焦點為F₂（1，0），求出a，c，然后求解橢圓M的離心率．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為x=my-1，與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理，連結OB，由|OA|=|OC|知S_△ABC=2S_△AOB，求解面積表達式，通過①若$\frac{1}≥1$，即$1＜a≤\sqrt{2}$，②若$0＜\frac{1}＜1$，$a＞\sqrt{2}$，求解函數(shù)的最值表達式即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意，點F₁為（-1，0），設$P（t，\sqrt{t}）$，則${k_{P{F_1}}}=\frac{{\sqrt{t}}}{t+1}$，
又${k_{P{F_1}}}=（\sqrt{x}）'{|_{x=t}}=（\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）{|_{x=t}}=\frac{1}{{2\sqrt{t}}}$，所以$\frac{{\sqrt{t}}}{t+1}=\frac{1}{{2\sqrt{t}}}$，解得t=1，即P（1，1），
設橢圓M的右焦點為F₂（1，0），則$2a=|P{F_1}|+|P{F_2}|=\sqrt{5}+1$，即$a=\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$，
又半焦距c=1，所以橢圓M的離心率為$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$；…（5分）
（Ⅱ）因為橢圓M的半焦距c=1，所以a²-b²=1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l的方程為x=my-1，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ x=my-1\end{array}\right.$消去x得：（a²+b²m²）y²-2b²my+b²（1-a²）=0，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{{2{b^2}m}}{{{a^2}+{b^2}{m^2}}}{y_1}{y_2}=\frac{{{b^2}（1-{a^2}）}}{{{a^2}+{b^2}{m^2}}}=-\frac{b^4}{{{a^2}+{b^2}{m^2}}}$，…（7分）
連結OB，由|OA|=|OC|知S_△ABC=2S_△AOB，
∴${S_{△ABC}}=|O{F_1}|•|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{{2a{b^2}\sqrt{{m^2}+1}}}{{{a^2}+{b^2}{m^2}}}$…（9分）
令$\sqrt{{m^2}+1}=t$，則m²=t²-1（t≥1），∴${S_{△ABC}}=\frac{{2a{b^2}t}}{{{a^2}+{b^2}（{t^2}-1）}}=\frac{{2a{b^2}t}}{{1+{b^2}{t^2}}}=\frac{{2a{b^2}}}{{{b^2}t+\frac{1}{t}}}$，
①若$\frac{1}≥1$，即$1＜a≤\sqrt{2}$，則${b^2}t+\frac{1}{t}≥2b=2\sqrt{{a^2}-1}$，
當且僅當$t=\frac{1}$，即$m=±\sqrt{\frac{{2-{a^2}}}{{{a^2}-1}}}$時，$S（a）={（{S_{△ABC}}）_{max}}=a\sqrt{{a^2}-1}$；…（10分）
②若$0＜\frac{1}＜1$，即$a＞\sqrt{2}$，設$f（t）={b^2}t+\frac{1}{t}$，則t≥1時，$f'（t）={b^2}-\frac{1}{t^2}=\frac{{{b^2}{t^2}-1}}{t^2}＞0$，
所以f（t）在[1，+∞）上單調遞增，所以${[f（t）]_{min}}=f（1）={b^2}+1={a^2}$，當且僅當t=1，
即m=0時，$S（a）={（{S_{△ABC}}）_{max}}=\frac{{2（{a^2}-1）}}{a}$；…（12分）
綜上可知：$S（a）=\left\{{\begin{array}{l}{a\sqrt{{a^2}-1}，1＜a≤\sqrt{2}}\\{\frac{{2（{a^2}-1）}}{a}，a＞\sqrt{2}}\end{array}}\right.$…（13分）

點評 本題考查直線充的位置關系的應用，考查分析問題解決問題的能力，考查函數(shù)的最值的求法導數(shù)的應用，考查計算能力．