Question

1．已知三角形ABC中，BC邊上的高與BC邊長相等，則$\frac{AC}{AB}$+$\frac{AB}{AC}$+$\frac{B{C}^{2}}{AB•AC}$的最大值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理與三角形的面積公式，化簡$\frac{AC}{AB}$+$\frac{AB}{AC}$+$\frac{B{C}^{2}}{AB•AC}$為C的三角函數(shù)，通過兩角和化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，求出表達(dá)式的最大值．

解答 解：在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，
所以 $\frac{AC}{AB}$+$\frac{AB}{AC}$+$\frac{B{C}^{2}}{AB•AC}$=$\frac{{c}^{2}+^{2}-{a}^{2}}{bc}$，
因?yàn)閍²=c²+b²-2bccosA，
所以：$\frac{{c}^{2}+^{2}-{a}^{2}}{bc}$=$\frac{2{a}^{2}+2bccosA}{bc}$，
△ABC中，BC邊上的高與BC邊的長相等，
所以：$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$a²，
即bcsinA=a²，
∴$\frac{2{a}^{2}+2bccosA}{bc}$=$\frac{2bcsinA+2bccosA}{bc}$=2sinA+2cosA
=2$\sqrt{2}$sin（C+$\frac{π}{4}$）≤2$\sqrt{2}$．
則$\frac{AC}{AB}$+$\frac{AB}{AC}$+$\frac{B{C}^{2}}{AB•AC}$的最大值為：2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查余弦定理與三角形的面積公式的應(yīng)用，兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．