Question

已知函數(shù)f（x）=

(2 3 sin2x-sin2x)•cosx

sinx

+1．
（Ⅰ）求f（x）的定義域及最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[

π

4

，

π

2

]上的最大值及取得最大值時x的集合．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），即可得定義域，化簡解析式為f（x）=2sin（2x-

π

6

），從而可求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由x∈[

π

4

，

π

2

]，即可解得2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，從而可求f（x）在區(qū)間[

π

4

，

π

2

]上的最大值及取得最大值時x的集合．

解答： 解：（Ⅰ）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），
故f（x）的定義域為{x∈R|x≠kπ（k∈Z}，
因為f（x）=

(2 3 sin2x-sin2x)•cosx

sinx

+1
=（2

3

sinx-2cosx）•cosx+1
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

）
所以f（x）的最小正周期T=π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x-

π

6

），
由x∈[

π

4

，

π

2

]，得2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]
所以當2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，f（x）取得最大值2．

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應用，正弦函數(shù)的圖象和性質，屬于基礎題．