Question

6．已知函數(shù)y=x+$\frac{2}{x}$有如下性質(zhì)：函數(shù)在區(qū)間（0，$\sqrt{2}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{2}$，+∞）上是增函數(shù)．根據(jù)上述性質(zhì)猜想函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)；
利用導(dǎo)數(shù)大于0或小于0證明函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性即可．

解答 解：根據(jù)題意，得；
函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)；
證明如下：∵y=f（x）=x+$\frac{a}{x}$，
∴f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，
解得x=±$\sqrt{a}$；
∴當(dāng)0＜x≤$\sqrt{a}$時(shí)，f′（x）≤0，f（x）是減函數(shù)；
x≥$\sqrt{a}$時(shí)，f′（x）≥0，f（x）是增函數(shù)；
綜上，函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{a}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了判斷函數(shù)的單調(diào)性問題，解題時(shí)可以利用導(dǎo)數(shù)來判斷和證明函數(shù)的單調(diào)性問題，是基礎(chǔ)題目．