Question

已知函數(shù)，，．

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵記函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)   數(shù)的取值范圍；

⑶記函數(shù)，證明：存在一條過原點(diǎn)的直線與的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)．

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時(shí)，為單調(diào)增區(qū)間，

當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減區(qū)間， 為單調(diào)增區(qū)間．

（2）要證明存在一條過原點(diǎn)的直線與的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)．，要結(jié)合極值點(diǎn)的函數(shù)值來得到。

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071112002200611313/SYS201307111201039360605848_DA.files/image008.png">，

①若，則，在上為增函數(shù)，          2分

②若，令，得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以為單調(diào)減區(qū)間，為單調(diào)增區(qū)間．

綜上可得，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)增區(qū)間，

當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減區(qū)間， 為單調(diào)增區(qū)間．     4分

（2）時(shí)，，

，                     5分

在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，即在上有且只有一個(gè)根且不為重根，

由得，                      6分

（�。�，，滿足題意；                      7分

（ⅱ）時(shí)，，即；               8分

（ⅲ）時(shí)，，得，故；

綜上得：在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，．            9分

注：本題也可分離變量求得．

（3）證明：由（1）可知：

（�。┤�，則，在上為單調(diào)增函數(shù)，

所以直線與 的圖象不可能有兩個(gè)切點(diǎn)，不合題意．        10分

（ⅱ）若，在處取得極值．

若，時(shí)，由圖象知不可能有兩個(gè)切點(diǎn)．          11分

故，設(shè)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（不妨設(shè)），

則直線與的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)即為直線與和的切點(diǎn)．

，，

設(shè)切點(diǎn)分別為，則，且

，，，

即， ①

， ②

，③

①-②得：，

由③中的代入上式可得：，

即，                        14分

令，則，令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071112002200611313/SYS201307111201039360605848_DA.files/image059.png">，，

故存在，使得，

即存在一條過原點(diǎn)的直線與的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)．        16分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了分類討論思想求解函數(shù)單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用，屬于難度題。