Question

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，滿足與a＝(3，－1)共線．

(1)求橢圓的離心率；

(2)設M為橢圓上任意一點，且(λ，μ∈R)，證明λ²＋μ²為定值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：設橢圓方程為＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)(c，0)， 　　則直線AB的方程為y＝x－c，代入＝1，化簡得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0． 　　令A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝． 　　由＝(x1＋x2，y1＋y2)，a＝(3，－1)，與a共線，得3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0 　　又y1＝x1－c，y2＝x2－c，∴3(x1＋x2－2c)＋(x1＋x2)＝0，∴x1＋x2＝． 　　即所以a2＝3b2．∴c＝，故離心率e＝ 　　(2)證明：由(1)知a2＝3b2，所以橢圓＝1可化為x2＋3y2＝3b2． 　　設＝(x，y)，由已知得(x，y)＝(x1，y1)＋μ(x2，y2)， 　　 　　∴M(x，y)在橢圓上，∴(x1＋μx2)2＋3(y1＋μy2)2＝3b2． 　　即2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2μ(x1x2＋3y1y2)＝3b2． 　　由(1)知x1＋x2＝c，a2＝c2，b2＝c2 ∴x1x2＝ 　　∴x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c)＝4x1x2－3(x1＋x2)c＋3c2＝c2－c2＋3c2＝0． 　　又x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2，代入①得2＋μ2＝1．故2＋μ2為定值，定值為1．