Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，且f（1）=1，若將f（x）的圖象向右平移一個單位后，則得到一個偶函數的圖象，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．-1004.5

Answer 1

【答案】分析：先利用函數為定義在R上的奇函數得f（0）=0，f（-x）=-f（x）；再與f（x）的圖象向右平移一個單位后，則得到一個偶函數的圖象對應的結論f（x-1）=f（-x-1）相結合可得函數的周期為4，再分別求出f（1），f（2），f（3），f（4）的值即可得出結論．
解答：解：∵（x）是定義在R上的奇函數
∴f（0）=0，f（-x）=-f（x）
因為將f（x）的圖象向右平移一個單位后，則得到一個偶函數的圖象，
所以有f（x-1）=f（-x-1）⇒f（x-1）=-f（x+1）⇒f（t+2）=-f（t）⇒f（t+4）=f（t）．
即4是函數的周期．
∴f（3）=f（-1）=-f（1）=-1；f（2）=-f（0）=0；f（4）=f（0）=0．
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）
=502×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2009）
=502×[1+0+（-1）+0]+f（1）
=f（1）=1．
故選B
點評：本題主要考查函數的奇偶性和周期性以及函數圖象的平移，是對基礎知識的考查，屬于基礎題．