Question

已知x、y為正實數(shù)，且滿足關(guān)系式x²-2x+4y²=0，求x·y的最大值.

Answer 1

思路分析：題中有兩個變量x和y，首先應(yīng)選擇一個主要變量，將x、y表示為某一變量（x或y或其他變量）的函數(shù)關(guān)系，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，同時根據(jù)題設(shè)條件確定變量的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)（或均值不等式等）求函數(shù)的最大值.

?解：4y²=2x-x²，

∵y＞0，?

∴y=，

∴x·y=x.?

由

解得0＜x≤2.

設(shè)f（x）=xy=x（0＜x≤2）.?

當(dāng)0＜x＜2時，f′（x）=［+］=.?

〔注：（）′=〕?

令f′（x）=0，得x=或x=0（舍）.?

∴f（）=，又f（2）=0，?

∴函數(shù)f（x）的最大值為.?

即x·y的最大值為.

溫馨提示

解決有關(guān)單調(diào)性和最值問題，導(dǎo)數(shù)是非常方便而且重要的工具.