Question

設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。

（Ⅰ）、求橢圓的方程；

（Ⅱ）、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。

（此題不要求在答題卡上畫圖）

Answer 1

解：（I）依題意得解得  從而,

故橢圓方程為。

（II）解法1：由（I）得A（-2，0），B（2，0）。設(shè)。

點(diǎn)在橢圓上，。

又點(diǎn)異于頂點(diǎn)，

由三點(diǎn)共線可得.

從面

將①式代入②式化簡(jiǎn)得

,.于是為銳角,從而為鈍角,故點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi).

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)P（4，）（0），M（，），N（，），則直線AP的方程為，直線BP的方程為。

點(diǎn)M、N分別在直線AP、BP上，

，.從而.③

聯(lián)立消去得.

是方程得兩根，∴（－2）．，即.  ④

又.   ⑤

于是由③、④式代入⑤式化簡(jiǎn)可得

.

N點(diǎn)在橢圓上，且異于頂點(diǎn)A、B，.

又，, 從而.

故為鈍角，即點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).

解法3：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（，），N（，），則－2<<2 , -2<<2.又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，

化簡(jiǎn)得.                      ⑥

     直線AP的方程為，直線BP的方程為.

點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，

，即.                                  ⑦

又M點(diǎn)在橢圓上，，即                   ⑧

于是將⑦、⑧式化簡(jiǎn)可得.

從而B(niǎo)在以MN為直徑的圓內(nèi).