Question

設函數y=f（x），x∈R的導函數f′（x），且f（-x）=f（x），f′（x）＜f（x），則下列不等式成立的是（　　）

A．f（0）＜e^-1f（1）＜e²f（2）

B．e²f（2）＜f（0）＜e^-1f（1）

C．e²f（2）＜e^-1f（1）＜f（0）

D．e^-1f（1）＜f（0）＜e²f（2）

Answer 1

分析：通過分析給出的選項的特點，每一個選項中要比較的三個式子都涉及含有e的負指數冪及f（x），所以設想構造函數
g（x）=e^-x•f（x），通過求其導函數，結合題目給出的f′（x）＜f（x），得到函數g（x）的單調性，然后在函數g（x）的解析式中分別取x=0，1，-2，利用函數單調性即可得到結論．

解答：解：構造輔助函數，令g（x）=e^-x•f（x），
則g′（x）=（e^-x）′•f（x）+e^-x•f′（x）
=-e^-x•f（x）+e^-x•f′（x）
=e^-x（f′（x）-f（x））．
∵f′（x）＜f（x），
∴g′（x）=e^-x（f′（x）-f（x））＜0，
∴函數令g（x）=e^-x•f（x）為實數集上的減函數．
則g（-2）＞g（0）＞g（1）．
∵g（0）=e⁰f（0）=f（0），
g（1）=e^-1f（1），
g（-2）=e²f（-2），
又f（-x）=f（x），
∴g（-2）=e²f（2）
∴e^-1f（1）＜f（0）＜e²f（2）．
故選D．

點評：本題考查了利用導函數判斷原函數的單調性，考查了不等關系與不等式，訓練了函數構造法，解答此題的關鍵是結合選項的特點，正確構造出輔助函數，使抽象問題變得迎刃而解，此題是中檔題．