Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E為棱PD的中點．
（Ⅰ）證明：AE⊥CD；
（Ⅱ）求直線AE與平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F為AB中點，棱PC上是否存在一點M，使得FM⊥AC，若存在，
求出$\frac{PM}{MC}$的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出PA⊥CD，AD⊥CD，從而CD⊥面PAD，由此能證明CD⊥AE．
（Ⅱ）以點A為原點建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AE與平面PBD所成角的正弦值．
（Ⅲ）設(shè)$\overrightarrow{CM}=λ\overrightarrow{CP}\;，\;（0≤λ≤1）$，則 $\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CM}=（1-2λ，2-2λ，2λ）$．由此利用向量法能求出結(jié)果．

解答 （Ⅰ）證明：因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．
因為AD⊥CD，AD∩AP=A，
所以CD⊥面PAD．
由于AE?面PAD，所以有CD⊥AE．…（4分）
（Ⅱ）解：依題意，以點A為原點建立空間直角坐標系（如圖），
不妨設(shè)AB=AP=2，可得B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
由E為棱PD的中點，得E（0，1，1）．$\overrightarrow{AE}$=（0，1，1）
向量$\overrightarrow{BD}=（-2，2，0）$，$\overrightarrow{PB}=（2，0，-2）$．
設(shè)$\overrightarrow n=（x，y，z）$為平面PBD的法向量，則$∫\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}$=0，即∫-2x+2y=0．
不妨令y=1，可得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）為平面PBD的一個法向量．
設(shè)直線AE與平面PBD所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以，直線AE與平面PBD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（11分）
（Ⅲ）解：向量$\overrightarrow{CP}=（-2，-2，2）$，$\overrightarrow{AC}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$．
由點M在棱PC上，設(shè)$\overrightarrow{CM}=λ\overrightarrow{CP}\;，\;（0≤λ≤1）$．
故 $\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CM}=（1-2λ，2-2λ，2λ）$．
由FM⊥AC，得$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AC}$=0，
因此，（1-2λ）×2+（2-2λ）×2=0，解得$λ=\frac{3}{4}$．
所以 $\frac{PM}{MC}=\frac{1}{3}$．…（13分）

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查兩線段比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．