Question

【題目】已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且短軸長為6.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在斜率為1的直線l，使得l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）＋；（2）或.

【解析】

(1)根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到答案。

(2)設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，以及＝0，列出方程求得的值，即可求解。

(1)由題意，橢圓的離心率為，且短軸長為，

所以，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.

(2)假設(shè)存在符合題意的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，其方程為，

由，消去，化簡得，

∵直線與橢圓交于兩點(diǎn)，∴，

化簡得，∴－，，

∵以線段為直徑的圓恰到恰好經(jīng)過原點(diǎn)，∴＝0，∴，

又，

，

解得，滿足，

∴或，

故符合題意的直線l存在，方程為或.