Question

已知函數f（x）=-x²+ax-lnx（a∈R）．
（1）當a=3時，求函數f（x）在[

1

2

，2]上的最大值；
（2）當函數f（x）在(

1

2

，2)單調時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，確定函數f（x）在[

1

2

，2]上的單調性，從而可f（x）在[

1

2

，2]上的最大值；
（2）函數f（x）在(

1

2

，2)單調，等價于f'（x）≤0在(

1

2

，2)恒成立，或f'（x）≥0在在(

1

2

，2)恒成立，利用分離參數法，求出函數的最值即可．

解答：解：（1）a=3時，f′(x)=-2x+3-

1

x

=-

2x2-3x+1

x

=-

(2x-1)(x-1)

x

，
∵當x∈(

1

2

，1)時，f′（x）＞0，當x∈（1，2）時，f′（x）＜0，
∴函數f（x）在區(qū)間(

1

2

，2)僅有極大值點x=1，故這個極大值點也是最大值點，
故函數在[

1

2

，2]最大值是f（1）=2，…（5分）
（2）f′(x)=-2x+a-

1

x

，令g(x)=2x+

1

x

，則g′(x)=2-

1

x2

，
則函數g（x）在(

1

2

，

2

2

)遞減，在(

2

2

，2)遞增，
由g(

1

2

)=3，g(2)=

9

2

，g(

2

2

)=2

2

，故函數g（x）在(

1

2

，2)的值域為[2

2

，

9

2

)．
若f'（x）≤0在(

1

2

，2)恒成立，即a≤2x+

1

x

在(

1

2

，2)恒成立，只要a≤2

2

，
若要f'（x）≥0在在(

1

2

，2)恒成立，即a≥2x+

1

x

在(

1

2

，2)恒成立，
只要a≥

9

2

．
即a的取值范圍是(-∞，2

2

]∪[

9

4

，+∞)．…（12分）

點評：本題重點考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查恒成立問題，解題的關鍵是利用導數確定函數的單調性．