Question

【題目】已知圓錐曲線的方程為．

（）在所給坐標(biāo)系中畫出圓錐曲線．

（）圓錐曲線的離心率__________．

（）如果頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線與圓錐曲線有一個(gè)公共焦點(diǎn)，且過第一象限，則

（i）交點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．

（ii）拋物線的方程為__________．

（iii）在圖中畫出拋物線的準(zhǔn)線．

（）已知矩形各頂點(diǎn)都在圓錐曲線上，則矩形面積的最大值為__________．

Answer 1

【答案】（）見解析（）（）（i）（ii）（iii）見解析（4）面積最大值

【解析】（）將變形為，根據(jù)在第一象限的范圍內(nèi)算出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后進(jìn)行描點(diǎn)作圖，再利用對(duì)稱性畫出整個(gè)橢圓

（2）∵

∴

∴

∴

∴圓錐曲線的離心率是

（3）（i）由（2）得橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且

∵頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線與圓錐曲線有一個(gè)公共焦點(diǎn)，且過第一象限

∴

（ii）由（i）得拋物線的焦點(diǎn)為，且過第一象限，所以拋物線的方程為

（iii）由（ii）得拋物線的準(zhǔn)線方程為

（）∵圓錐曲線為

，

， ， ，

∴離心率，

公共焦點(diǎn)，

對(duì)于拋物線：

，∴，

∴方程為，準(zhǔn)線為，

設(shè)矩形上點(diǎn)，

∴ ，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)

為面積最大值．