Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)P是曲線C：xy=1（x＞0）上任意一點(diǎn)，l是曲線C在點(diǎn)P處的切線，且l交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A、△OAB的面積為定值2
• B、△OAB的面積有最小值為3
• C、△OAB的面積有最大值為4
• D、△OAB的面積的取值范圍是[3，4]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)P（a，

1

a

），求出曲線C在點(diǎn)P處的切線方程，再計(jì)算面積，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由題意，y=

1

x

（x＞0），則y′=-

1

x2

設(shè)P（a，

1

a

），則曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為y-

1

a

=-

1

a2

（x-a），
x=0可得y=

2

a

；y=0可得x=2a，
∴△OAB的面積為

1

2

×

2

a

×2a=2，即定值2，
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定切線方程是關(guān)鍵．