Question

17．將二項式${（x+\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^6}$展開式各項重新排列，則其中無理項互不相鄰的概率是（　�。�

• A． $\frac{2}{7}$
• B． $\frac{1}{35}$
• C． $\frac{8}{35}$
• D． $\frac{7}{24}$

Answer 1

分析 首先由二項式定理求出有理項和無理項的項數(shù)，然后利用插空法求出排列數(shù)，利用古典概型的公式求概率即可．

解答 解：二項式${（x+\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^6}$展開式通項為：${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{x}^{6-r}（\frac{2}{\sqrt{x}}）^{r}={2}^{r}{C}_{6}^{r}{x}^{6-\frac{3}{2}r}$，知當(dāng)r=0，2，4，6時為有理項，則二項式${（x+\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^6}$展開式中有4項有理項，3項無理項，所以基本事件總數(shù)為${A}_{7}^{7}$，無理項互為相鄰有${A}_{4}^{4}{A}_{5}^{3}$，所以所求概率P=$\frac{{A}_{4}^{4}{A}_{5}^{3}}{{A}_{7}^{7}}=\frac{2}{7}$，
故選：A．

點評 本題考查了二項式定理以及插空法求排列數(shù)、古典概型的概率求法；屬于中檔題．