Question

設(shè)［a,b］是函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)間.如果對(duì)任意的x₁、x₂∈［a,b］且x₁≠x₂,有f()＞［f(x₁)+f(x₂)］,那么稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上為凸函數(shù);如果對(duì)任意的x₁、x₂∈［a,b］,且x₁≠x₂,有f()＜［f(x₁)+f(x₂)］,那么稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上為凹函數(shù).

(1)判定函數(shù)f(x)=在定義域［0,+∞)上是凹函數(shù)還是凸函數(shù),并證明你的結(jié)論;

(2)判定函數(shù)f(x)=2^x在定義域(-∞,+∞)上是凹函數(shù)還是凸函數(shù),并證明之.

Answer 1

解析:(1)函數(shù)y=的圖象如圖所示.

由圖形易知,任給x₁、x₂∈［0,+∞),

＞(),

∴函數(shù)f(x)=在［0,+∞)上為凸函數(shù).

證明:任取x₁、x₂∈［0,+∞),且x₁≠x₂,

()²-［()］²

=(x₁+x₂-)

=()²＞0,

∴()²＞［()］².

∴＞(),

即滿足f()＞［f(x₁)+f(x₂)］.

∴函數(shù)f(x)=x在［0,+∞)上是凸函數(shù).

(2)函數(shù)f(x)=2^x圖象如下.

從圖形知在(-∞,+∞)上函數(shù)y=2^x是凹函數(shù).

證明:任取x₁、x₂∈(-∞,+∞)且x₁≠x₂,則-()=-()=

∵x₁≠x₂,∴,即.

∴²＜0,

即＜.

∴函數(shù)f(x)=2^x在(-∞,+∞)上是凹函數(shù).