Question

10．如圖所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，$∠ABC=\frac{π}{3}$，PA=AB=4，AC交BD于O，點N是PC的中點．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求平面ANC與平面ANB所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）只需證明BD⊥AC，BD⊥PA，即可得到BD⊥平面PAC．
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC，OB，ON所在直線分別為x，y，z軸，求出兩平面的法向量，利用向量的夾角公式求解．

解答 解：（1）∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，
而PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC，OB，ON所在直線分別為x，y，z軸，方向如圖所示，

根據(jù)條件有點$N（0，0，2），A（-2，0，0），B（0，2\sqrt{3}，0）$，
由（1）可知OB⊥平面ANC，所以可取$\overrightarrow{OB}$為平面ANC的法向量$\overrightarrow{n_1}$，$\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{OB}=（0，2\sqrt{3}，0）$，
現(xiàn)設(shè)平面BAN的法向量為$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，則有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{n_2}=0\\ \overrightarrow{BN}•\overrightarrow{n_2}=0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}x+z=0\\-\sqrt{3}y+z=0\end{array}\right.$，
令z=1，
則$\overrightarrow{n_2}=（-1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$，
設(shè)平面ANC與平面ANB所成的銳二面角大小為θ，則$cosθ=|\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}|=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

點評 本題考查了空間線面垂直，即向量法求解二面角，屬于中檔題．