Question

16．某校在高二年級開展了體育分項教學(xué)活動，將體育課分為大球（包括籃球、排球、足球）、小球（包括乒乓球、羽毛球）、田徑、體操四大項（以下簡稱四大項，并且按照這個順序）．為體現(xiàn)公平，學(xué)校規(guī)定時間讓學(xué)生在電腦上選課，據(jù)初步統(tǒng)計，在全年級980名同學(xué)中，有意申報四大項的人數(shù)之比為3：2：1：1，而實際上由于受多方面條件影響，最終確定的四大項人數(shù)必須控制在2：1：3：1，選課不成功的同學(xué)由電腦自動調(diào)劑到田徑類．
（Ⅰ）隨機抽取一名同學(xué)，求該同學(xué)選課成功（未被調(diào)劑）的概率；
（Ⅱ）某小組有五名同學(xué)，有意申報四大項的人數(shù)分別為2、1、1、1，記最終確定到田徑類的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）隨機抽取一名同學(xué)，利用互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式能求出該同學(xué)選課成功（未被調(diào)劑）的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值為1，2，3，4．分別出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）隨機抽取一名同學(xué)，該同學(xué)選課成功（未被調(diào)劑）的概率：
$P=\frac{3}{7}×\frac{2}{3}+\frac{2}{7}×\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}=\frac{5}{7}$．
（Ⅱ）X的所有可能取值為1，2，3，4．
$P（X=1）=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{4}{18}$，
$P（X=2）=2×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{8}{18}$，
$P（X=3）=2×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{5}{18}$，
$P（X=4）=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{18}$．
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{4}{18}$	$\frac{8}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{18}$

$EX=1×\frac{4}{18}+2×\frac{8}{18}+3×\frac{5}{18}+4×\frac{1}{18}=\frac{13}{6}$．

點評 本題考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．