Question

15．已知圓O：x²+y²=10，過點P（-3，-4）的直線l與圓O相交于A，B兩點，若△AOB的面積為5，則直線l的斜率為$\frac{1}{2}$或$\frac{11}{2}$．

Answer 1

分析 利用△AOB的面積為5，得出OA⊥OB，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離d=$\frac{|3k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{10}$，求出直線的斜率．

解答 解：圓O：x²+y²=10的圓心坐標為O（0，0），半徑為$\sqrt{10}$，
∵△AOB的面積為5，
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\sqrt{10}×sin∠AOB$=5，
∴sin∠AOB=1，
∴∠AOB=90°，
∴OA⊥OB．
設(shè)過點P（-3，-4）的直線l的方程為y+4=k（x+3），即kx-y+3k-4=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|3k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{10}$，
∴k=$\frac{1}{2}$或$\frac{11}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$或$\frac{11}{2}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．