Question

9．用數(shù)學歸納法證明f（n）=3×5²ⁿ⁺¹+2³ⁿ⁺¹（n∈N^*）能被17整除．

Answer 1

分析 利用數(shù)學歸納法即可證明，證明當n=k+1時，變形f（k+1）=3×5^2k+3+2^3k+4=25（3×5^2k+1+2^3k+1）-17×3^3k+1，即可證明．

解答 證明：（1）當n=1時，f（1）=3×5³+2⁴=391=17×23，能夠被17整除；
（2）假設當n=k（k∈N^*）時，f（k）=3×5^2k+1+2^3k+1能夠被17整除．
則當n=k+1時，f（k+1）=3×5^2k+3+2^3k+4=25（3×5^2k+1+2^3k+1）-17×3^3k+1，能夠被17整除，
綜上可得：?n∈N^*，f（n）=3×5²ⁿ⁺¹+2³ⁿ⁺¹能被17整除．

點評 本題考查了數(shù)學歸納法、指數(shù)運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．