Question

已知正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，F分別為D₁C₁，C₁B₁的中點，AC∩BD＝P，A₁C₁∩EF＝Q.求證：

(1)D，B，E，F四點共面；

(2)若A₁C交平面BDEF于R點，則P，Q，R三點共線．

Answer 1

證明：

如圖所示．(1)連接B₁D₁.∵E，F分別為D₁C₁，C₁B₁的中點，∴EF∥B₁D₁，

又∵B₁D₁∥BD，

∴EF∥BD，

∴EF與BD共面，

∴E，F，B，D四點共面．

(2)∵AC∩BD＝P，

∴P∈平面AA₁C₁C∩平面BDEF.同理，Q∈平面AA₁C₁C∩平面BDEF.

∵A₁C∩平面DBFE＝R，

∴R∈平面AA₁C₁C∩平面BDEF，

∴P，Q，R三點共線．