Question

【題目】已知a R， a0，函數(shù) f (x) eax1 ax ，其中常數(shù)e .

（1）求 f (x) 的最小值；

（2）當a ≥1時，求證:對任意 x0 ，都有 xf (x) ≥ 2ln x 1 ax2.

Answer 1

【答案】(1)0；(2)證明見詳解.

【解析】

（1）求導，對函數(shù)的單調(diào)性進行討論，從而求得最小值；

（2）將不等式恒成問題，進行轉(zhuǎn)換，結(jié)合（1）中的結(jié)論，構(gòu)造新的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)換為最值的問題即可.

（1）因為，則，

故為R上的增函數(shù)，令，解得

故當，單調(diào)遞減；

當，單調(diào)遞增，

則

故函數(shù)的最小值為0.

（2）證明：要證明xf (x) ≥ 2ln x 1

等價于證明

由（1）可知：，即

因為，故

故等價于證明

即

令，即證恒成立.

又

令，解得

故當，單調(diào)遞減；

當，單調(diào)遞增；

故

有因為，故

故即證.

即對任意 x0 ，都有 xf (x) ≥ 2ln x 1 ax2.