Question

9．已知{a_n}是斐波那契數(shù)列，滿足a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N*）．{a_n}中各項除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為{b_n}，則b₂₀₁₅=1．

Answer 1

分析 a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N*）．由{a_n}中各項按順序排列可得：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．{a_n}中各項除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為{b_n}，分別為：1，1，2，3，1，0，1，2，3，1，0，1，…，可得其周期，即可得出．

解答 解：a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N*）．
∴{a_n}中各項按順序排列可得：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，
{a_n}中各項除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為{b_n}，
分別為：1，1，2，3，1，0，1，2，3，1，0，1，…，
從上面可以看出：{b_n}從第二項開始是周期為5的數(shù)列，
∴b₂₀₁₅=b_1+402×5+4=b₅=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了斐波那契數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、整除的性質(zhì)，考查了推理能力、猜想歸納與計算能力，屬于中檔題．