Question

14．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{an}{bn+1}$，且a₂=$\frac{6}{5}$，a₃=$\frac{9}{7}$．
（1）求a_n；
（2）求證：a_n＜a_n+1；
（3）求證：a_n∈[1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）由條件可得a，b的方程組，解得a，b，即可得到所求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）作差整理，可得a_n-a_n+1＜0，即可得證；
（3）由數(shù)列{a_n}遞增，可得a_n≥a₁，再由不等式的性質(zhì)，可得$\frac{3n}{2n+1}$＜$\frac{3}{2}$．即可得證．

解答 解：（1）a_n=$\frac{an}{bn+1}$，且a₂=$\frac{6}{5}$，a₃=$\frac{9}{7}$，
可得$\frac{2a}{2b+1}$=$\frac{6}{5}$，$\frac{3a}{3b+1}$=$\frac{9}{7}$，
解得a=3，b=2，
即有a_n=$\frac{3n}{2n+1}$；
（2）證明：a_n-a_n+1=$\frac{3n}{2n+1}$-$\frac{3（n+1）}{2（n+1）+1}$
=$\frac{6{n}^{2}+9n-（6{n}^{2}+9n+3）}{（2n+1）（2n+3）}$=-$\frac{3}{（2n+1）（2n+3）}$＜0，
則a_n＜a_n+1；
（3）證明：由a_n＜a_n+1，可得數(shù)列{a_n}遞增，
可得a_n≥a₁=1，
由a_n=$\frac{3n}{2n+1}$=$\frac{3}{2+\frac{1}{n}}$＜$\frac{3}{2}$．
可得a_n∈[1，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．