Question

（理）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如圖），AD=AA₁=1，AB=2，點E是棱AB上的動點．
（1）當(dāng)異面直線AD₁與EC所成角為60°時，請你確    定動點E的位置．
（2）求三棱錐C-DED₁的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系． E（1，t，0），分別求出異面直線AD₁與EC的方向向量，根據(jù)異面直線AD₁與EC所成角為60°，我們可以構(gòu)造一個關(guān)于t的方程，解方程即可確定出動點E的位置．
（2）由等體積法，我們可得=，分別求出三棱錐的底面面積和高，代入棱錐的體積公式，即可求出三棱錐C-DED₁的體積．
解答：解：（1）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè) E（1，t，0）則A（1，0，0），D（0，0，0），D′（0，0，1），C（0，2，0）
則=（1，0，-1），=（1，t-2，0）
根據(jù)數(shù)量積的定義及已知得：•=1=•cos60°（4分）
∴t=2
∴E的位置是AB中點．（6分）
（2）==•S_△DEC•DD₁=••2•1•1=     （12分）
點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，異面直線及其所成的角，其中（1）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將異面直線的夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)等體積法，將求三棱錐C-DED₁的體積，轉(zhuǎn)化為求三棱錐D₁-DEC的體積．