Question

已知函數f（x）=ax+lnx，x∈（l，e）．
（Ⅰ）若函數f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為1，求實數a的值；
（Ⅱ）若f（x）有極值，求實數a的取值范圍和函數f（x）的值域；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，函數g（x）=x³-x-2，證明：?x₁∈（l，e），?x∈（l，e），使得g（x）=f（x₁）成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求導數，再由函數f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為1，令求解．
（Ⅱ）f（x）有極值，則有解，由x∈（1，e）得到，再由求得a的范圍．求值域時，先求極值，再由a的范圍，確定端點值與極值的大小關系，從而確定值域．要注意討論．
（Ⅲ）：證明?x₁∈（l，e），?x∈（l，e），有g（x）=f（x₁）成立，即證函數f（x）的值域是函數g（x）的值域的子集．所以分別求得兩個函數的值域，再盾集合的關系即可
解答：解：（Ⅰ）（1分）
∵函數f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為1，∴（2分）
∴（3分）
（Ⅱ）由，可得
∵x∈（1，e）
∴
∴（5分）
經檢驗時，f（x）有極值．
∴實數a的取值范圍為．（6分）
列表

f（x）的極大值為（7分）
又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得又∵（8分）
∴當時，函數f（x）的值域為（9分）
當時，函數f（x）的值域為．（10分）
（Ⅲ）證明：∵當x∈（1，e）時，g'（x）=3x²-1＞0，
∴g（x）在（1，e）上為單調遞增函數（11分）
∵g（1）=-2，g（e）=e³-e-2∴g（x）在（1，e）的值域為（-2，e³-e-2）（12分）
∵e³-e-2＞，-2＜ae+1，-2＜a
∴⊆（-2，e³-e-2），⊆（-2，e³-e-2）
∴?x₁∈（1，e），?x∈（1，e），使得g（x）=f（x₁）成立．（14分）
點評：本題主要考查導數的幾何意義以及用導數求函數的極值、最值和值域等問題，有參數時一定要注意分類討論．