Question

【題目】在平行四邊形中，，，過點作的垂線，交的延長線于點，.連結，交于點，如圖1，將沿折起，使得點到達點的位置，如圖2.

（1）證明：平面平面；

（2）若為的中點，為的中點，且平面平面，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）先求得，，可得，結合，可得，，，可證明平面，利用面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）由面面垂直的性質可得平面，取的中點為，連結，則，可證明平面，由此利用棱錐的體積公式可得三棱錐的體積.

（1）如題圖1，在中，，，所以.

在中，，所以.

所以.

如題圖2，，.又因為，所以，，，

所以平面，又因為平面，所以平面平面.

（2）解法一：因為平面平面，

平面平面，平面，，所以平面.

取的中點為，連結，則，所以平面.

即為三棱錐的高.

且.

因為，三棱錐的體積為.

解法二：因為平面平面，平面平面，平面，

，所以平面.

因為為的中點.

所以三棱錐的高等于.

因為為的中點，所以的面積是四邊形的面積的，

從而三棱錐的體積是四棱錐的體積的.

面，

所以三棱錐的體積為.