Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數(shù)，且對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log₂x]=3，則方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的區(qū)間是（　�。�

A．

（0，）

B．

（，1）

C．

（1，2）

D．

（2，3）

Answer 1

考點：

根的存在性及根的個數(shù)判斷；對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用．

專題：

計算題．

分析：

根據題意，由單調函數(shù)的性質，可得f（x）﹣log₂x為定值，可以設t=f（x）﹣log₂x，則f（x）=log₂x+t，又由f（t）=3，即log₂t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，對其求導可得f′（x）；將f（x）與f′（x）代入f（x）﹣f′（x）=2，變形化簡可得log₂x﹣=0，令h（x）=log₂x﹣，由二分法分析可得h（x）的零點所在的區(qū)間為（1，2），結合函數(shù)的零點與方程的根的關系，即可得答案．

解答：

解：根據題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log₂x]=3，

又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數(shù)，

則f（x）﹣log₂x為定值，

設t=f（x）﹣log₂x，則f（x）=log₂x+t，

又由f（t）=3，即log₂t+t=3，

解可得，t=2；

則f（x）=log₂x+2，f′（x）=，

將f（x）=log₂x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，

可得log₂x+2﹣=2，

即log₂x﹣=0，

令h（x）=log₂x﹣，

分析易得h（1）=＜0，h（2）=1﹣＞0，

則h（x）=log₂x﹣的零點在（1，2）之間，

則方程log₂x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，

故選C．

點評：

本題考查二分法求函數(shù)的零點與函數(shù)零點與方程根的關系的應用，關鍵點和難點是求出f（x）的解析式．