Question

設x，y，z∈R，2x+2y+z+8=0，則（x-1）²+（y+2）²+（z-3）²之最小值為

9

．

Answer 1

分析：利用柯西不等式即可得出．

解答：解：由柯西不等式可得：[（x-1）²+（y+2）²+（z-3）²]（2²+2²+1²）≥[2（x-1）+2（y+2）+1•（z-3）]²=（2x+2y+z-1）²=（-8-1）²，
化為（x-1）²+（y+2）²+（z-3）²≥9，當且僅當

x-1

2

=

y+2

2

=

z-3

1

，且2x+2y+z+8=0，即x=-1，y=-2，z=2時取等號．
故（x-1）²+（y+2）²+（z-3）²之最小值為8．
故答案為8．

點評：本題考查了柯西不等式的應用，屬于基礎題．