Question

（本題滿分14分）

設(shè)、分別是橢圓：的左右焦點(diǎn)。

（Ⅰ）設(shè)橢圓上的點(diǎn)到兩點(diǎn)、距離之和等于，寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)是（1）中所得橢圓上的動點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；

(Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線 ， 的斜率都存在，并記為， ，試探究的值是否與點(diǎn)及直線有關(guān)，不必證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（Ⅰ）由于點(diǎn)在橢圓上， ……………………… 1分

2=4,                                            ………………………2分  

橢圓C的方程為                        ………………………3分

焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為               ………………………4分

（Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為B（x, y）則點(diǎn) ………………………5分

把K的坐標(biāo)代入橢圓中得………………7分

線段的中點(diǎn)B的軌跡方程為   ………………8分

（Ⅲ）過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 

設(shè)                 

在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程，得    ………………10分

          ………………11分

==       ………………13分

故：的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，同時(shí)與直線L無關(guān)，………………14分