Question

1．已知三棱錐A-BCD中，DA⊥平面BCD，底面△BCD為等邊三角形，且BC=2，AD=2$\sqrt{3}$，則此三棱錐的外接球的表面積為$\frac{52}{3}$π．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合三棱錐和正三棱柱的幾何特征，可得此三棱錐外接球，即為以△BCD為底面以DA為高的正三棱柱的外接球，分別求出棱錐底面半徑r，和球心距d，可得球的半徑R，即可求出三棱錐A-BCD外接球的表面積．

解答 解：根據(jù)已知中底面△BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，DA⊥平面BCD，可得此三棱錐外接球，即為以△BCD為底面以DA為高的正三棱柱的外接球
∵△BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
∴△BCD的外接圓半徑r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
球心到△BCD的外接圓圓心的距離d=$\sqrt{3}$，
故球的半徑R=$\sqrt{3+\frac{4}{3}}$=$\sqrt{\frac{13}{3}}$，
故三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4πR²=$\frac{52}{3}$π，
故答案為：$\frac{52}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，正確求出球的半徑R是解答的關(guān)鍵．